1、2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题 1 8小题每小题4 分，共 32分、当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ a）(2)323o(x)（ b） o( x) o(x )o( x)x o x（ c） o( x 2 )o( x 2 )o( x2 )（ d） o(x) o( x 2 )o( x2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（a）（ b）（ c）都是正确的，对于（d）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x2x 3o( x), g( x)x3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（d）x2函数 f
2、 ( x)x1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（a）0（ b）1（ c）2（d）3xexln x【详解】当x ln x0 时， x11 x ln x，xlimf ( x)limx1limx ln x1 ，所以 x0 是函数f ( x) 的可去间断点x 0x 0 x( x 1) ln xx 0 x ln xx1 ，所以 x 1limf ( x)limx1limx ln x是函数f ( x)的可去间断点x 1x 1 x( x 1) ln xx 0 2 x ln x2xlimf ( x)limx1limxln x，所以所以x1不是函数 f (x) 的x1x1 x(x1) ln xx1(
3、x 1) ln x可去间断点故应该选（ c ）设 d k 是圆域 d( x, y) | x 2y 21 的第 k 象限的部分，记 i k( y x)dxdy ，则d k（）（a）i10b i 20c3d i 40（ ）（ ） i0（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k2121i k( yx)dxdyd(sincos )rdr( k1)03d k21kcos |k2sin132所以 i1i30,i22 ,i42，应该选（ b）33设an为正项数列，则下列选择项正确的是（）（a）若 anan 1 ，则( 1) n 1 an 收敛；n 1（b）若( 1) n 1 an 收敛，则 anan 1
4、 ；n 1（c）若an 收敛则存在常数p 1 ，使 lim n p an 存在；n 1n（d）若存在常数p 1 ，使 lim n pn 存在，则an 收敛nan 1k2sin ) dk 1 (sin2【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（d）正确，故应选（）此小题的（a ）（ b）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（a），但少一条件 lim a n0 ，显然错误 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ b）也不正确，反例自己去构造设，均为n 阶矩阵，若，且可逆，则（ a）矩阵 c 的行向量组与矩阵a 的行向量组等价（ b）矩阵 c 的列向量组与矩阵a
5、 的列向量组等价（ c）矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的行向量组等价（ d）矩阵 c 的列向量组与矩阵b 的列向量组等价【详解】 把矩阵 a， c 列分块如下: a,2 , , n ，由于，12, n , c1 ,则可知ib i1 1 b i 2 2bin n (i1,2, , n) ，得到矩阵c 的列向量组可用矩阵a 的列向量组线性表示同时由于b 可逆，即acb 1 ，同理可知矩阵a 的列向量组可用矩阵c 的列向量组线性表示，所以矩阵c 的列向量组与矩阵a 的列向量组等价应该选（b）1a12006矩阵 aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是1a1000（ ） a0,b2（ ），为任意常数ab
6、 a0b（ c） a2,b0（d） a 2， b 为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵a= aba 与矩阵0b0相0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等1a1eaaba( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知2b 2a 22b ，即 a0 ， b 为任意常数，故选择（b）7 设 x1,x2,x3是随机变量，且x1 n (0,1), x 2 n(0,2 2), x 3 n(5,3 2) ，pip2x i2 ，则（a） p1p2 p3（b） p2 p1p3（c） p3p2p1（d） p1p3p2【详解】若 x n(,2)，则x n(0
7、,1)p12 (2) 1，p2p 2x 22px 212 (1) 1，12p3p2x 3225x 352 5( 1)77p1)33333，p3p2173(1)23(1)0 3故选择（ a）8设随机变量 x 和 y 相互独立，且x 和 y 的概率分布分别为x012p1/21/41/8y-10p1/31/3则 pxy2（）（a） 1（b） 1（c） 1（ d）12863p1/811/312【详解】pxy2px1,y1px2,y0px11113,y1，故选择（ c ）1224246二、填空题（本题共6 小题，每小题4分，满分24 分 .把答案填在题中横线上）9设曲线yf (x) 和 yx 2x 在点
8、1,0 处有切线，则lim nfnn【详解】由条件可知f 10, f (1)1所以n2f 12f (1)lim nfnlimn 22 f (1)2nn 2n2n 2n22n10 设函数 zz x, yz y xz是由方程xy 确定，则|(1,2 ) x【详解】设f x, y, zzy x xy()，则f x x, y, z( z y) x l z y)y, f z (x,ny, z) x(z y)x 1 ，(当 x 1, y2 时， zz0 ，所以|(1, 2 ) 2 2 ln 2 x11 ln xd x21 (1x)【详解】ln x 2 dxln xd1ln x |11dx ln x|1 l
9、n 2111 x1 x1x1(1 x)x(1 x)12 微分方程 yy 1 y0 的通解为4r【详解】方程的特征方程为110 ，两个特征根分别为12，所以方程通42x解为 y (c 1c 2 x) e 2 ，其中 c1 ,c 2 为任意常数a13设 aij是三阶非零矩阵，a 为其行列式，aij 为元素 aij的代数余子式，且满足aaijij0(i , j1,2,3) ，则a =【详解】由条件aa0(i, j1,2,3) 可知 a a*t0 ，其中 a * 为 a 的伴随矩阵，从ijij而可知t3 1a* a*aa ，所以a 可能为1或 0n,r (a)n但由结论 r ( a * ) 1, r
10、( a)n1可知， a a *t0 可知 r ( a)r ( a*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( a)n1能为 3，所以a1.14 设随机变量x 服从标准正分布x n ( 0,1)，则 e xe 2x【详解】e xe 2 xxe2x1 e2x 22 dxxe2(x 2) 222(x 2)2e( x 2 2)e 2dx2dx2t 22te2te 2 dt 2e 2 dte2 e( x ) 2e 22e2 2所以为2e 2 三、解答题15 （本题满分10 分）当 x0 时，1cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n 【分析】主要是考查x0 时常见函数的马克
11、劳林展开式【详解】当x 0 时，c x o 1 s x1 2o( x2 )，1(2x) 22cos2 x1o(x 2 )12 x 2o(x 2 )，2cos3x11(3x) 2o( x2 )19 x 2o( x2 ) ，所22以1 cosx cos2xcos3x1 (11x2o( x 2 )(12x 2o(x 2 )(19 x2o( x2 ) 7x2o( x2 )，22由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以a7, n216 （本题满分10 分）设 d 是由曲线y3x ，直线 xa (a0) 及 x 轴所转成的平面图形，vx ,v y 分别是d 绕 x轴和
12、y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10v xvy ，求 a 的值【详解】由微元法可知a25a3 a3vxy 2 dxx3 dx；005aa46 ax 3 dxvy2 xf ( x) dx 200773 ；由条件 10v xv y ，知 a7 7 17 （本题满分10 分）设平面区域 d 是由曲线 x3 y, y 3x, xy 8 所围成，求x 2 dxdy d【详解】x 2 dxdyx2 dxdyx2 dxdyx2 dx x dyx 2 dx xdy 416 23 x68x023dd1d 23318 （本题满分10 分）q设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格
13、函数为p60,（p1000是单价，单位:元，q 是销量，单位:件），已知产销平衡，求:（ 1）该的边际利润（ 2）当 p=50 时的边际利润，并解释其经济意义（ 3）使得利润最大的定价p 【详解】（1）设利润为y ，则 ypq(6000 20q )40qq 26000 ，1000边际利润为y40q .500（ 2）当 p=50 时， q=10000 ，边际利润为20 经济意义为:当p=50 时，销量每增加一个，利润增加20（3）令 y0，得 q20000 , p602000040.1000019 （本题满分10 分）设函数 f x在 0,) 上可导，f00 ，且 limf (x)2 ，证明x（
14、1）存在 a0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a(0, a)，使得 f (1，存在)a【详解】证明（ 1）由于lim( )2，所以存在x 0，当 xx时，有 3，xf xf (x)522又由于 fx 在 0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数fx 在 0,a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f (f (a)f (0) 1)aa20 （本题满分11 分）设 a1a01，问当 a, bc，使得 ac cab ，并求出, b为何值时，存在矩阵101b所有矩阵c【详解】显然由 acca b 可知，如果c 存在，则必须是x1x
15、22 阶的方阵设 c，x3x4则ac cab 变形为x2ax3ax1 x2ax40 1xxxax，x1342
1 b3x2ax30即得到线性方程组ax1x2ax4 1 ，要使 c 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1 x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00a |b，1011100001a01a0b0000b所以，当a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵c，使得 ac cab 1011101100此时， a | b，0000000000x1111x2010所以方程组的通解为312acca b，也就是满足的矩阵xx0c1c0x4001
16、c 为c 1c1c2c1，其中 c1, c 2为任意常数c1c221 （本题满分11 分）设二次型f ( x1, x2, x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2记a1b1a2 ,b2 a3b3（1）证明二次型f 对应的矩阵为2tt ；,f在正交变换下的标准形为 22（2）若正交且为单位向量，证明2 y12y【详解】证明:（1）f ( x1, x2 , x3 )2(a1 x1a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 22 x, x, xa1a ,a , ax1, x, xbb1, b,bx123a2x x1232b23x211 2321a3x
17、3b3x3x1x1x , x2, x32tx2x, x2, x3tx211x3x3x1x , x2, x32ttx21x3所以二次型f 对应的矩阵为2tt 证明（ 2）设 a2tt ，由于1,t0则 att22t2 ，所以2 的特征2为矩阵对应特征值1向量；a2tt2t2，所以为矩阵对应特征值21 的特征向量；而矩阵 a 的秩 r ( a)r ( 2tt )r (2t )r (t)2，所以 30也是矩阵的一个特征值故 f在正交变换下的标准形为22122 yy22 （本题满分 11 分）设 x,y是 二 维 随 机 变 量 ， x 的 边 缘 概 率 密 度 为 f x ( x)3x 2 ,0x
18、 1 ， 在 给 定0,其他x x(0x 1) 的条件下，3y 2 ,0 yx,y 的条件概率密度为fy ( y / x)x 3×0, 其他（1）求x ,y的联合概率密度f x, y ；（2） y 的的边缘概率密度fy ( y) 【详解】（ 1 ） x , y 的联合概率密度f x, y:f x, yfy ( y / x) f x ( x)9 y 2 ,0x1,0 y xxx0,其他（2） y 的的边缘概率密度fy ( y) :1 9 y 22fy ( y)f (x, y)dxdx9 y ln y,0 y 1yx0,其他23 （本题满分11 分）2e x , x 0设总体x 的概率密度为 f (x; )x 3，其中0,其他x1x 2,x n 为来自总体 x 的简单随机样本（ 1）求的矩估计量；（ 2）求的极大似然估计量【详解】（ 1 ）先求出总体的数学期望e（ x）2e x dxe(x)xf (x)dx02，x令 e(x)1 n1xx i ，得的矩估计量xn n 1n为为未知参数且大于零，nxi i1（2）当 xi0(i1,2,n) 时，似然函数为n22nl ( )exe3i3xini 1xii 1取对数， ln l() 2nlnn13n ln x i ，i1 xii 1令 d ln l( )0 ，得2n1 0 ，ndi 1xi解得 的极大似然估计量为ni 11x i，