曾谨言量子力学教程考研真题【书乐学堂】(曾谨言量子力学教程第三版)

曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解地址：http://shuyue.100xuexi.com/ebook/993285.html或关注vx “彩衣年”公众号，回复“曾谨言”获取地址

一、选择题
1、量子谐振子的能量是（　　）[中南大学2010研]
a．en＝hω（n＋1/2）
b．en＝?ω（n＋1/2）
c．en＝hv（n＋1/2）
d．en＝?v（n＋1/2）
【答案】b
【解析】由于谐振子的哈密顿算符为h(^)＝（n(^)＋1/2）?ω，而n(^)本征值为n，于是谐振子能量为en＝（n＋1/2）?ω。

2、下面关于厄米算符的定义式中，正确的为（　　）[中南大学2010研]
a．（ψ，a(^)φ）＝（a(^)ψ，φ）
b．（ψ，a(^)φ）＝（a(^)φ，ψ）
c．（ψ，a(^)φ）＝（φ，a(^)ψ）
d．（ψ，a(^)φ）＝（ψ，a(^)φ）
【答案】a
【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数，厄米算符定义式为（ψ，a(^)φ）＝（a(^)ψ，φ）。

二、填空题
1、力学量算符必须是______算符，以保证它的本征值为______。[中南大学2010研]
【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符。

2、在量子力学原理中，体系的量子态用希尔伯特空间中的______来描述，而力学量用______描述，力学量算符必为______算符，以保证其______为实数。[中南大学2010研]
【答案】函数矢量（波函数）；算符（在特定的表象中表示为张量，一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量/波函数对应体系的量子态，力学量对应算符，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵，力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实。

3、当对体系进行某一力学量?的测量时，测量结果一般来说是不确定的，测量结果的不确定性来源于______。[中南大学2010研]
【答案】波函数的叠加原理
【解析】对于任意体系的波函数都可以由某一力学量?的完备的本征波函数叠加构成，当对体系进行力学量?的测量时，波函数发生波包塌缩，对于测量结果为力学量?的某一个本征值具有一定的概率性，所对应的概率可以由所叠加的本征波函数前面的振幅的模平方得出。

三、简答题
1、写出角动量的三个分量
的对易关系。[湖南大学2009研]
答：这三个算符的对易关系为 [l(^)x，l(^)y]＝i ?l(^)z， [l(^)y，l(^)z]＝i ?l(^)x， [l(^)z，l(^)x]＝i ?l(^)y。

2、量子力学中的力学量算符有哪些性质？为什么需要这些性质？[南京大学2009研]
答：量子力学中力学量算符为厄米算符，具有厄米性。
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符。

四、计算题
1、对于角动量算符l(→)＝r(→)×p(→)
（a）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式。
（b）定义升降算符l±＝lx±ily，利用对易关系[lz，l±]和[l2，l±]证明：若f是l2和lz的共同本征态，则l±f也是l2和lz的本征态。
（c）在球坐标系中，求解lz的本征方程。[华南理工大学2010研]
解：（a）由

得
同理可得 [l(^)y，l(^)z]＝i?l(^)x，[l(^)z，l(^)x]＝i?l(^)y。
则的三个分量之间的关系通式为： [l(^)α，l(^)β]＝εαβγi?l(^)γ，其中εαβγ是levi－civita符号，α，β，γ＝（1，2，3）。
（b） [l(^)z，l(^)±]＝[l(^)z，l(^)x±il(^)y]＝[l(^)z，l(^)x]±i[l(^)z，l(^)y]＝i?l(^)y±?l(^)x＝±?（l(^)x±il(^)y）＝±?l(^)±
[l(^)2，l(^)±]＝[l(^)2，l(^)x±il(^)y]＝0
若f是l(^)2和l(^)z的共同本征函数，可设f＝ψlm，则
l(^)2f＝l(^)2ψlm＝l（l＋1）?2ψlm， l(^)zψlm＝m?ψlm
l(^)2l(^)±ψjm＝l(^)±l(^)2ψjm＝l（l＋1）?2l(^)±ψjm
l(^)zl(^)±ψlm＝（l(^)±l(^)z±?l(^)±）ψlm＝（m±1）?l(^)±ψlm
可见l(^)±ψlm是l(^)2和l(^)z的共同本征函数，本征值分别为l（l＋1）?和（m±1）?。
（c）在球坐标中
代入l(^)z的本征方程l(^)zφ（φ）＝lzφ（φ）得
利用周期性边界条件φ（φ）＝φ（φ＋2π）可得lz＝m?

，m＝0，±1，±2，…
由归一化条件可得
则l(^)z的本征态为
相应的本征方程为l(^)zf（φ）＝m ? f（φ）。
2、设一维运动粒子的坐标和动量分别为q和p，c为常数。
（1）求力学量p和exp（icq）的对易关系。
（2）若p0是算符p的本征值，证明也是p的本征值。[中国科学院2000研]
解：（1）在坐标表象中
所以
（2）设算符p的本征方程为
因为
所以

即

因此，是算符p的本征值，其相应的本征函数为。
【注】①正如平面几何中选择合适的坐标系来解决相关问题，在量子力学中，表象的选择同样可以影响问题的求解，在解决问题时，一定要牢记所取用的表象，不要混淆。
②力学量p和exp（icq）的对易关系也可以把exp（icq）指数展开，利用，可以得出同样的答案。
③算符p本征值p0对应的本征函数为ψ，算符p的本征值本征函数为，称为平移函数，将本征值移动。

3、（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数。
（2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
（3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程。[华南理工大学2011研]
解：（1）证：对于厄米算符
a(^)ψ＝λψ
（a(^)ψ，ψ）＝λ*（ψ，ψ）＝（ψ，a(^)ψ）＝（ψ，λψ）＝λ（ψ，ψ）
因为存在（ψ，ψ）≠0，所以λ*＝λ，即本征值为实数。
（2）证：a(^)ψn＝anψn，a(^)ψm＝amψm，因为
（ψn，a(^)ψm）＝am（ψn，ψm）＝（a(^)ψn，ψm）＝an*（ψn，ψm）＝an（ψn，ψm）
而am≠an，所以（ψn，ψm）＝0，即正交。
（3）因为ψ（φ）具有周期性，ψ（0）＝ψ（2π）。
而
所以
（l(^)zψm（f），ψm（f））＝（ψm（f），l(^)zψm（f））
即l(^)z为厄米算符。
设本征方程为
其中lz′为本征值，上式可改写为
易解出，c为积分常数，可由归一化条件决定。
又因为波函数满足周期性边界条件的限制，f（φ＋2π）＝f（φ），由此可得lz′/?＝m（m＝0，±1，±2，…），即角动量z分量的本征值为lz′＝m?，是量子化的，相应本征函数记为fm（φ）＝ceimφ。
再利用归一化条件可得
即为其本征函数，相应的本征方程为l(^)z′fm（φ）＝m?fm（φ）。
4、对于单个电子的运动：
（1）证明轨道角动量算符l和动量平方算符p2对易。
（2）论答：运动于球对称场v中束缚态的力学量完全集合是什么？（不计自旋）
（3）设 ，用测不准关系估计其基态能量。[中国科学院2000研]
解：（1）由对易关系
因为
和
所以
同理可得， 和 ，因此，轨道角动量算符l和动量平方算符p2对易。
（2）球对称场v是中心力场，所以束缚态的力学量完全集合是h，l2，lz，其相应的量子数为n，l，ml。
（3）对于单个电子在势场
中的基态，假设势场坐标为r，则由测不准关系
可得
因此体系的能量为
由
得
所以基态能量为
5、设算符h具有连续本征值ω，其本征函数构成正交完备系.求方程

的解，其中为已知函数，ω′为某个特定的本征值。[中国科学院2002研]
解：因为算符h具有连续本征值ω，其本征函数为，所以其本征方程为。
由本征函数完备性：
任意波函数可以表示为

因为为已知函数，并且有

所以

上式两边同时乘以并积分可得
由本征函数正交性可得
所以
因此
因为，当时，由和可得。
因此，
并且。
【注】在解决力学量算符问题时，要充分利用波函数的正交完备系性，比如恒等式在力学量的矩阵问题是经常使用的。

6、一个质量为m的粒子做一维无限运动，当其哈密顿算符为

时，能级为en.如果哈密顿算符变为
求此时的能级。[中国科学院2002研]