怎样学数学？对此，美国南密西西比大学数学系教授丁玖有一起观点。他从教逾33年，回想起自个当年在密歇根州立大学数学系受教的点滴，他很有领会感触。在念书的四年半中，他修过、旁听过的各门课教师，各有授课特征与自个个性。这儿包含万象的课程设置和多多益善的谈论班，成了他取之不尽的常识源泉。
他认为，我国的教育太注重回想术了，把学生大脑的存储功用，发掘到极致，但对大脑的最重要功用——思维——却无视置之。不会思考或不想思考，是我国几千年填鸭式教育的成果之一。
撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
1986年元旦，对我颇有留念意义。那天正午，我从上海飞往美国读博，在旧金山进关并住宿一夜，第二天清晨飞去密歇根州立大学。所以那天我在中美两国各度了“半个元旦”。
1990年夏，我在李天岩（1945-2021）教授门下获得使用数学博士学位，随即受聘南密西西比大学数学系，迄今教育三十三年半。回想起当年受教的点滴，很有领会感触。
考试前史中的一个污点
我就读数学系的研讨惹事务主任普拉金（jacob plotkin，1941-）教授，对那时我国研讨生的强项下风了然于胸。在我签到的第一天，他就奉劝我：数学不要慌，英文先大抓。尽管我遵循了他的主张，修了英语听力与写作两门课，但除了正式注册颜宪尧（david h. yen，1934-2011） 教授的一门数学课外，我还旁听了几门研讨生课。其间两门是博士生两大过关考试之一——博士资历考的课程，意图是一箭双雕：既能协助前进英文听力水平，又能温习安靖资历考的数学内容。颜教授是系里指派给我的学术参谋，假定我需要修课方面的辅导，就可以找他请教。
博士资历考根据的这两门一学年课，所掩盖的内容——分析与代数——我在南京大学数学系读本科时根柢学过，但时隔多年未再温习，不重温一下是不可的。实际上，我抵达学校的1月2日晚上，一向对我协助很大的博士生沈韻秋就告诉我，系里当天现已考过上半年的资历考第一门，第二天持续考第二门。他主张我去试一下，横竖按规则，刚进校就参加资历考通不过，不算失利。所以我在来日上午，昏昏眩沉地就去碰命运了，可是却碰上了难题，因为我的回想库经多年失修而漏掉许多公式，成果没考过。尽管这个斗胆的匆促应试，没给将来的博士论文导师李天岩教授留下欠安形象（但他常说资历考仅用来“考美国痴人的”），我真实是惭愧不已，因为这是自个的考试前史中一个刷不掉的污点。我传闻在秋学季开学前，有两个四川大学的年青硕士前来攻博。他们向系里要来曩昔几年资历考的卷子看了看，预备了十来天，就经过了9月初的这两门考试。而4个月后冬学季刚初步，他们又经过了更难的两门“博士预备考”。如此的神速让我自叹弗如。这两位成都数学文人——吕克宁和郑德超——做学问的精力与做人的方法都一向为我所尊敬，几十年来他们已变成各自研讨领域中的杰出者。
可是，我对自个的实力是有自决心的。回想起刚进南大时，看到早一个月入学的同学，如同都是“拼命三郎”，个个如同“武林高手”。不少人超前学习，似乎啥都懂，吓得我一周下来瘦了一圈，让来南京出差趁便看我的家兄大吃一惊。可是不久我就发现，只需我能真实搞懂要害数学概念，循序渐进，学习上就会立于不败之地。多年中逐步养成的自学才能，这时派上了用场，很快就在同批选择的学友中锋芒毕露。我至今清楚地记住，第一学期教咱们《空间解析几许》课的王永成（1939-）教师对咱们说的话：“我大学结业时几乎忘光了一切公式，但我却学会了怎样学数学。”的确，掌控学习办法，远比紧记所学内容更为重要，这和成语“授之以鱼，不如授之以渔”所包含的道理相同。后去上海交大任教的王教师成了一位在汉语排版方面颇有建树的核算机专家，大约和他学会了“怎样学数学”不无联络吧。他早年“忘光公式”的读书阅历，验证了日本菲尔兹奖得主广中平佑（hironaka heisuke，1931-）所说的名言：“学习的意图在于掌控才智。”
我又像当年进南大相同地静心读书了。尽管时差困惑了我好几个月——白日进了教室就想睡觉，深夜三更时却精力十足。一个学季后，我就经过了密歇根英文考试，不必再修听力与写作课了。我入学前因托福听力考分未合格而致使的“条件选择”，也因而升为理直气壮的“标准选择”。从春学季起，我的首要精力用在了数学上。我不只注册了要交学费的研讨生课程，而且还旁听了其他的数学课，它们中的一些与我其时想象的将来研讨方向没有直接联络，但我比照喜爱触及不一样领域，尽量拓广常识。就像在南大时，学习再忙也坚持阅览人文书刊，在这儿我像海绵相同地吸收朴实数学的养分。为了从速经过博士资历考，我持续旁听这两门基础课。其间具有欧洲绅士风味的拉彭（peter a. lappen）教授教学实分析时正襟端坐，一进教室就上黑板，板书妙笔生花，他大约是我这辈子见到过的写得最快的人。当年9月初，我就顺畅经过博士资历考，第二年一月，又考完了两门博士预备考，从日记中看至稀有一门考了第一。
多多益善的谈论班
密歇根州立大学数学系包含万象的课程设置和多多益善的谈论班，成了我取之不尽的常识源泉。系里还具有一个藏书丰厚、装饰典雅的图书馆。当我签到的第一天，从研讨惹事务主任的秘书手中，接过除了助教单位及大楼以外的系图书馆钥匙，我差点惊呆了，竟然如此信赖刚来念书的外国研讨生，不怕书被偷了？回想起母校南京大学图书馆早年信赖过学生，为了便利他们起见，施行开架借书，成果几个月下来，许多书就石沉大海了，因为有些读书人深信鲁迅为小说《孔乙己》的主人公创造的名言“窃书不能算偷”。可是在这儿读书的那几年，我从未传闻系图书馆的“贼喊捉贼”。每自个充共享受运用图书馆的便当，特别是在静谧的夜间，坐在舒畅的单人沙发上，沉溺在数学思维的海洋里，感触真是夸姣至极。
在念书的四年半中，我修过、旁听过的各门课教师，各有授课特征与自个个性。我修第一门数学课的教师颜宪尧教授，客籍山东，是孔夫子满足学生颜回的直系子孙。他在纽约大学柯朗数学科学研讨所获得博士学位。大数学家希尔伯特（david hilbert，1862-1943）的学生和火伴柯朗（richard courant，1888-1972），逃离纳粹德国后，以祖国哥廷根大学早年光辉的数学个性树立的这个研讨所，其使用数学在美国是龙头老迈。颜教授比李教授年长十一岁，彼此是亲近无间的火伴。我修此课是李教授主张的，尽管这门《偏微分方程数值解》的根柢内容，我早在大三时学过。颜教授通晓力学和微分方程，讲课个性如同他的处世为人，稳重厚实、逻辑稳重；说言口气是沉着不迫、老成持重；板书则是细巧灵秀，与他巨大的身段构成风趣对照。我从他那里学到了做学问的紧密和做人的平缓。
我也从其他教授的课堂大学到了有用的常识，一起目睹了他们的讲课特征，并能熏陶于一起的教育艺术。1988-89学年，我注册了阿克斯拉（sheldon axler，1949-）教授的《高级泛函分析》。阿克斯拉教授具有典型的美国人个性，性格开畅，崇尚安适。他本科结业于普林斯顿大学，是美国数学界中广受尊敬的匈牙利裔数学家、数学写作与讲演大师哈尔莫斯（paul halmos，1916-2006）的徒孙，论文导师为加州大学伯克利校区的萨拉森（donald e. sarason）教授。与其师爷相同，他也长于教育，清楚的说明、流利的板书与美丽的英文相得益彰。我从本科起，就喜爱泛函分析，结业前差点去考该学科的研讨生。故抉择经过阿克斯拉教授的课“更上一层楼”。泛函分析的概念关于计管用学家的功用，恰当于高级微积分关于工程师的功效。这门课没有教科书，只指定了两本参阅书本——卢丁（walters rudin，1921-2010）的functional analysis（《泛函分析》）和约翰康威（john b. conway，1939-）的a course in functional analysis（《泛函分析教程》）。连上三个学季，却没有一次考试，全按安设作业的总分数核算学期成果。让人叫绝的是教授的评分标准：安设的习题，做对了得10分，不做得0分，但如做错了，则得负5分。这就让修课的学生严峻起来，不敢做错题。因为不考试，可以愿望有些习题有恰当的难度。大有些修课者，是那些将来要从事分析、方程或几许、拓扑方面研讨的纯数学博士生，其间至少两人就是教授自己的弟子。但他们也惧怕得负分，常常彼此谈论，不敢轻举盲动，草率交题。班上有一位是刚经过国内某个留学基金考来的名校结业生，方案跟从系里的名教授读博士，几年后却投靠了东海岸更有名大学的更有名教授拿到学位，后来变成某个研讨型大学的教授，兼任母校特聘教授。其时他究竟只需本科文凭，对这门难课决心不太足，不时来问我标题。有次作业发下来，某道题他拿到10分，我却被倒扣了5分，因为我的解题证明太精粹，而被断定不对。而他却因和我谈论，才会做该题，但写得较为具体。当然，我课后向阿克斯拉教授说明了我的正确答案。细心思考后，教授附和把分数从负5分上调为正10分，但不期望往后再看到我作业中的“马粗心虎”，从此我记住了他用的这个我初度见到的英文名词sloppiness。阿克斯拉教授确是讲课高手，致使于我和其别人，提名了他竞赛系里的教育奖，他名副其实地拿到了。后来我请求大学教职时，他热心肠给我写了一封举荐信，不吝翰墨地夸奖了我在他这门别具风味一学年课上的“体现”。
可是，真实让我服气，并对我后来的研讨和教育生计影响最大的教授，就是我投靠他而来的李天岩先生。1985年6月初，当他初度造访祖国大陆时，和他已在通讯中知道的我，特地飞去中山大学听他一周讲座，目睹了他手舞足蹈的课堂扮演，也初度听到那篇他与博士导师约克（james yorke，1941-）合写的闻名论文period three implies chaos，这标题被他妙译为“周期三则凌乱无章”。那一周，我在他讲座大学到的数学思维，可以比我在整个读硕士期间获得的还要多。这种感触对那些故步自封学习的人来说可以认为是夸大其词。其实只需读一读普林斯顿高级研讨院戴森（freeman dyson，1923-2021）教授写过的东西，就会晓得这种感触的激烈。三十岁被奥本海默（j. robert oppenheimer，1904-1967）院长挖去当正教授的戴森回想道，他在芝加哥大学与巨大的物理学家费米 （enrico fermi，1901-1954）谈论自个认为可行的一项物理核算时，对方的二非常钟评述，让他全然信赖我国成语“听君一席话，胜读十年书”。
我在南京大学数学系何旭初（1921-1990）教授门下读硕士学位时，从第一个学期起，导师就让咱们弟子举办谈论班。他也亲自参加，不时宣告有启示性的真知灼见。他不但引导咱们从速在研讨领域登堂入室，而且培育独立思考习气，前进数学讲演才能。记住我陈述斯坦福大学工程-经济体系系伦伯格（david g. luenberger，1937-）教授所著的教科书《线性与非线性方案引论》（introduction to linear and nonlinear programming）中关于线性方案对偶理论的那一节前，本着“数学是一个有机全体”的根柢观念，我以泛函分析中的对偶概念作为引子，用类推法将对偶思维遵从到线性方案之中。这场我终身中的初度陈述，得到我们的好评，平常正襟端坐的何先生也浅笑起来。我本科在南大打下了比照坚实的分析基础，硕士研讨生期间，又幼饕得到谈论班的练习。加上在读研第一年，教咱们专业基础课《非线性方程组迭代解》的沈祖和教授，在授课一学期后让咱们学生主讲所用英文教材的下半有些，这更强化了咱们自学及讲课的才能。来美后，我决心十足地变成李教授谈论班中的一员。
导师李天岩的“治学之道”
李天岩教授是个传奇人物，极具特性。他于七十五岁意外病逝后，第二年我由上海科技教育出书社出书了回想录《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》，其间有一章谈了他的“治学之道”。他对谈论班的陈述需求极高，不期望只讲啥定理证明的逻辑推理，或“难以想象的ε-δ言语”，他想听到的是那些条件和结论不和的根柢思维。假定你只想背书式地展示某出题对一切天然数n都树立的证明，那你就错了。他想看到的是，你对n等于3时的具体推演。对任意n都树立的证明进程，或许你能滚瓜烂熟，却不会唐塞更简略的n=3特别景象，因为你没有真懂这个定理，还只是停留在背诵证明的期间。这样的学生其实大有人在。李教授告诉过咱们，一位研讨生在博士资历面试时需求将“证明两个紧集的乘积是紧集”的疑问改为“任意个紧集的乘积为紧集”，因她早就将后者这个闻名的吉洪诺夫定理的证明背得滚瓜纯熟。
还没参加谈论班前，进校仅三周，我就领教了李教授对学术陈述的严肃需求。那天，他将一篇厚厚的文章递给我，说“我还不知你的水平究竟在哪条线上，三个礼拜后你向我陈述它的内容。”他在给我一个非官方的“博士资历考”！文章作者的博士导师是台甫鼎鼎的斯梅尔（stephen smale，1930-），结业后成了康内尔大学的年青教授，在学术界已锋芒毕露。七十多页的这篇长文，用到积分几许研讨线性方案一类算法的核算凌乱性，而对这个领域我是外行人。可是，尽管我每天忙于修课旁听，还要抵挡时差的进犯，我不能听天由命，而是应以实践行为，不孤负教师的期望！我从系图书馆借了西班牙数学家桑塔洛（luis a. santaló，1911-2001）关于积分几许的经典大著。多年来不断前进的自学才能，让我很马上解到这门学科的根柢概念，并被以概率观念研讨几许之美倾倒。任何人只需传闻在画有两条直线的平面上，随机抛掷细针许多次数，则可以用概率办法估量圆周率的值，就会对积分几许的前驱之一、法国植物学家和作家布丰（georges de buffon，1707-1788）古稀之年的天才创造啧啧称奇。
当我站在李教授单位的黑板前预备大显身手之时，只见他坐在椅子上，双脚放在作业桌上（这并不闪现他狂妄无礼，而是在美国习认为常的表象），嘴里俄然吐出令我惊奇的一句话：“你要把我当成痴人，我啥也不理解。”堂堂大教授，啥也不理解？一霎那，我全理解了，他是在查询我讲课的身手、讲演的作用，是不是真能让“痴人”也能听懂“深邃的数学”。我晓得我的矮处和利益，矮处是一般话发音较差，家乡口音颇重，这是我少年十四岁初步营生，与只说家乡方言的工人师傅为伍数年后才进大学的成果。但我期望能“扬长避短”。这个小小的利益就是：只需是现已真实弄懂的东西，我根柢上能讲得让一般人也能听懂。歇后语“茶壶里的饺子——肚子里有货，嘴上倒不出”，可以难以用到我的身上。这有些是源自先天的父母教育基因，有些是遭到后天的南大教育练习。
初度陈述结束，李教授未置一词。他很少当面赞誉人，但我理解得很，我把这个“痴人”讲懂了。第二周我更匠意于心，讲完后，他说“你回去给我写个陈述吧。”我舒了一口气，总算经过了他一起的“资历考”。后来才晓得，该文是投给期刊《数学方案》（mathematical programming）的稿子，修改部送到李教授手里审理。他就想出这个鬼点子，一举两得，既能看看我的数学功夫和讲演才能，又给我机缘操练写审稿陈述。当然，他自个也节约了审稿时刻，何乐而不为呢？这是我学术生计中的初度审稿，尽管对错官方性的，因为我仍是博士生，但对我却意味深远。
1986年夏，李教授办了一个谈论班，谈论麻省理工学院教授斯特朗（gilbert strang，1934-）的新书《使用数学导论》（introduction to applied mathematics）。尽管我那个夏天因为还未考过博士预备考（连资历考还没过呢），系里不给赞助，但我没想去校外打工，因为曩昔半年拿的教育助理薪水所剩尚够这三个月开支，便不移至理参加了。李教授的两个博士生——来自韩国的李弘九（noah rhee）和北京的张红，加上颜教授的一个弟子等也参加了。每个学生有必要陈述一章内容，因我硕士专业为最优化理论，故让我陈述关于数学方案的那一章。
这是我在美国所做的初度谈论班陈述。尽管有过南大谈论班的练习，我仍是把它当成终身中初度作学术陈述来预备。这的确是我的初度英文谈论班陈述。我精读了斯特朗教授书的那章内容，收拾了几年来对这门学科的心稳当会，抉择用自个的言语，几许化地介绍最优化理论的根柢主意。当我心中稀有地上场陈述前，李教授和我打了招待，抱愧因有事要提前非常钟离场。那天我根柢没按作者选用的标准办法证明等式捆绑最优化中的拉格朗日乘子规则，而是选用了多元微积分中方导游数的概念，一会儿就直观地推导出。我的英文口语表达才能必定还停留在起步期间，但我自傲的神态流显露的是对这个规则比照透切的了解——这归功于在南大读最优化专业研讨生时打下的根柢功和细心的讲演预备。我从听众的脸部表情中深信他们真的听懂了。讲演者最觉满足的事，莫过于感遭到观众的共识！俄然，我看到李教授站起来了，因为他要走了，可是他的嘴里先吐出了几个我永久记住的词，而且是中文词：“讲得不错，马列主义学得好！”
几天后，系里年岁与李教授相仿因而彼此常常谈天的博士生王铎告诉我，李教授跟他讲“丁玖有思维”。这五字评语尽管归于过奖之言，但让我高兴，因为我在将来博士论文导师的眼里根柢过了关。我国的传统教育太多偏重“有常识”，故催生了一句令人仰慕的成语“博大精深”。可是在西人眼里，“有思维”的专家，才是有创造力的专家。
“忘光公式”
王铎文革前考入大学，我进南大不久他考上了北大的研讨生，结业后来到这儿造访李教授的师兄周修义（1943-2023）教授，后转为其门下的博士研讨生。周教授是来自新加坡的我国人，大学结业后，没有像李教授那样要从戎一年，就直奔美国，1970年在约克教授的手中拿到博士学位。尽管他较师弟年长两岁，看上去却非常年青，精巧的脸庞、炯炯的目光，一看就晓得是个精干之人，可以在任何领域有所建树。我初度见到他时聊了会儿。我用中文说到我国某闻名大学的一位数学教授在某个专业领域有个健壮的理论团队，且其某个理论研讨在国内独出机杼时，他却用英文答复我：“not many people do that！（没多少人干那玩意儿！）”，意思是说这个研讨标题太老了，一会儿就把我镇住了，登时对他分外尊敬。
尽管我在大学期间读过的课外数学书，数目上可以不少于课内教科书，但国内研讨生的培育机制，捆绑咱们选修其他领域的课程。来到美国，我根柢只修国内未体系学过的那些类别。第二年，我一见周教授要开一学年的《常微分方程与动力体系》研讨生课程，就毫不犹疑地注册修课。周教授那时才四十余岁，手上有几个研讨基金，在系里薪水最高，正处于研讨生计的高产期。他和布朗大学的黑尔（jack k. hale，1928-2009）教授于8十年代初出书的合著《分支办法理论》（theory of bifurcation method），是这个领域的首要参阅书之一。他与颜教授或阿克斯拉教授的教课个性悬殊，各有千秋。颜教授教育像潺潺流水，润泽心田，但难见波涛雄壮之举；阿克斯拉教授的课堂证明思路清楚，逻辑性强，滴水不漏；周教授的讲台扮演则是天马行空，随心所欲，从大处思考而落拓不羁，极具研讨风味。在推演进程中他常让咱们协助，因为他忘掉了下一步该用到的三角函数恒等式。这就从某一方面佐证了前述的王永成教师所率直的“忘光公式”，确有知音。记不得又有啥联络呢？咱们学生最需要的只是思维，而周教授向咱们教授了做研讨的思维！
当相对论在全世界响遏行云之时，曾有一名无知无畏的青年，想考一下巨大的爱因斯坦（albert einstein，1879-1955），问他声响在水中的传达速度是多少。爱因斯坦不慌不忙地答复道：先生，我记不得了，可是您可以从任何一本物理教科书上查到。我有次在回国飞机上，与邻座一位美国人闲谈我国教育。这位北卡罗莱纳大学教堂山校区前史系的结业生，终年来广东辅导出口家私出产。他告诉我，我国工程师在技能上非常听话，故步自封地遵从国外的方案方案，鲜有独出机杼的另辟蹊径之举。在谈到我国学生中广泛存在的立异缺乏表象时，他引述了他曾在北京教物理的一位同胞所说的诙谐话：假定教师在课堂上教等式2+3=5，美国学生会问为啥2 + 3不等于4或6，而我国学生则静静地将公式记在心里。不会思考或不想思考，是我国几千年填鸭式教育的成果之一。
我国的教育太注重回想术了，把学生大脑的存储功用，发掘到极致，但对大脑的最重要功用——思维——却无视置之。因而这种回想力，与了解力不能相得益彰，齐头并进。学校里处处鼓舞的囫囵吞枣式的机械性回想，一言以蔽之，就是死记硬背。动物也是有回想力的，家养的犬对熟人摇尾，对生人狂吠，信鸽可以飞回千里之外的家。可是人和动物的差异就是，人可以思维，因而人可以被界说为“会思维的动物”。人会改造天然、改动世界，而动物则不能，就是归功于人的思维特性，而不是回想特性。否则咱们的宠物狗和猫，也能控制世界了。怅惘，咱们当前大行其道的应试教育，只能教唆咱们的学生，变成仅会背公式的不爱思考者。美国巨大的物理学家费曼（richard feynman，1918-1988）有个好父亲。他从小就告诉儿子，只是晓得事物的称号而对事物的本质一无所知，等于啥也不知。他举例说，有一只鸟，在不一样的言语里，有不一样的叫法。即便你背得了一百个叫法，却不晓得该鸟的习性，你对那只鸟仍是一无所知。这对咱们“知其可是不知其所以然”的教育法，的确也是极妙的比方。
上他的课，没有人会打盹
假定说阿克斯拉教授的课程成果不根据考试，只看平常作业，加上他的一起打分标准有点异乎寻常，周教授给注册他课学生的类别究竟评分，那次所用的简略独法，更是出其不料。我过后传闻，交了课堂作业的，根柢都拿a，没交的也得b。也就是说一个婴儿，只需能注册此课，就能拿到b，因为婴儿当然是不会做作业的。姑且不管这种评分方法是不是合理或太松，学生们却从
这门课中，至少赏识到做研讨的艺术。有些人甚至可从这儿起步，奔向抢手研讨前沿阵地。真实做研讨的教授一般在分数面前对学生特别宽宏许多。而有些早已在研讨阵地上丢枪弃甲的教授，视分数为坚持他们教授声威的最终一张招牌，不愿简略放松，学生均匀分数89.9时，也只能得到倒运的b而与a无缘。
当然，最让我啧啧称奇的讲课个性，还对错李天岩教授莫属。在1987-88学年，他被日本京都大学数了解析研讨所请去当了一年的讲座教授，传闻薪水是日本大学正教授的一倍半。这个研讨所共有十个讲座教授，其间九个是耐久性职位，归于国内专家，只需一个讲座才向国外聘请。李教授在那里给京都大学数学系做了一系列的讲演：[0, 1]上的遍历理论。这一年里，咱们几个他从祖国大陆招来的弟子，平常见不到导师表面上威严的面孔，像见不到猫的老鼠似的，活得安适安适，每天活蹦活跳，但每自个都很自觉，广泛吃苦。我现已经过了博士资历考和预备考各两门，以及两种第二外语的考试。在持续修课的一起，我初步阅览别人宣告的最新论文，着手思考疑问，撰写了我来美后的第一篇学术文章。当远在东方的李教授收到我的文章初稿后，给我回信时，不只给予了学术主张，而且还大大赞誉了我做研讨自个找疑问着手干的片面能动性。
1988年秋季学期，刚从东瀛造访归来的李天岩教授，抉择开一学年的遍历理论课，所讲材料首要是根据他在日本简略收拾的讲演稿，意图是想经过课堂正式教学，为今后可以写书做预备。这是我初度正式注册他的课。课程叫《高级使用数学选讲》，注册者除了他几乎一切的我国博士生外，还有一对美国博士后配偶，这迫使他不得不必英文授课。超卓实验物理学家丁肇中（1936-），为了前进来自国内造访专家的英文水平，平常成心不与他们讲中文。但李教授却恰恰相反，只需没有洋人在场，老是满嘴中文，甚至在大多是美国学生的课堂上，也偶尔耍点中文的小幻术。有一次，他对注册他课的几个我国弟子的作业体现不甚满足，那天一进教室，就直奔黑板，写下四个汉语大字：“眼高手低”，笑坏了不知其意的美国人，羞怯了只比他小了十岁支配的学徒们。
写过皇皇巨作《古今数学思维》的美国使用数学家兼数学史家克莱因（morris kline，1908-1992），关于课堂教育，对教师曾给出如下的谆谆劝诫：
“我想力劝每位教师变成演员。他有必要凭仗戏曲的每一种道具使他的授课技巧显示出活力与活力。他有必要在恰当的时分运用戏曲作用，在叙说实际的一起展示热情。不寻常的新鲜行为可以激起我们的快乐喜爱，挥洒自若的诙谐可以极大地活泼课堂，即便这与授课内容形似无关。”
坐在李天岩教授的课堂里，你大约对克莱因的话更能领会，因为他就是诠释这段话的范本。上他的课，满脑子打盹虫的人也不会打盹。假定我来美的第一个学季就修他的课，那我的时差困惑也不会拖得那么久。他绝不是那种照猫画虎的老学究，也不是叙说证明故步自封的标准师，更不是语速、频率、振幅几乎不随时刻改变的教育匠。他讲课时脸部表情多变，肢体言语夸大，吐出数学新概念前，总以生动比方鸣锣开道，好让咱们沉着不迫地登堂入室。抑扬抑扬的口气，有时像潺潺流水，有时如大风大浪，有时则似乎美国黑公民权领袖马丁·路德·金（martin luther king，1929-1968）在闻名讲演中重复语句“i have a dream !（我有一个愿望！）”那样，接连偏重同一个数学术语，声响的分贝越来越大，把咱们的热情也完全集结起来了。
第二个学季，那一对美国配偶没有再来旁听，这样每节课教室里，泛动的尽是标准的台湾国语声，李教授上课时的动感言语愈加五颜六色了，咱们听得也更起劲了。正本，咱们对遍历理论的根柢概念几乎一无所知，但这一学年，咱们跟从他润泽于集纯数学几个学科于一体的理论大海，“遍历”爽快地吸收着心旷神往的新养料。至于我，就像“混沌”所提示的“蝴蝶效应”那样，我根柢没有猜测到这门课竟然作用了自个的博士论文。
而这篇学位论文该做啥，也是导师与我事前都“始料未及”的。下次写出这前后进程，或许会给因硕士、博士论文选题而烦恼的年青学子供给一点“经历之藤铮
注：
这篇文章根据2016年由商务印书馆出书的《亲历美国教育：三十年的领会与思考》第四章《读书日子》批改而成。
这篇文章受科普我国·星空方案项目扶持出品：我国科协科普部监制：我国科学技能出书社有限公司、北京中科星河文明传媒有限公司
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